Четкие арифметики нечетких треугольных чисел

Вернемся к рассмотрению нечетких треугольных чисел как частного случая нечетких чисел -типа, т.е. имеющих вид .

Мы будем строить арифметику , где — операции сложения и умножения, определенные на нечетких треугольных числах. В построенной арифметике для каждого элемента будут существовать противоположные и обратные элементы. Поэтому нет никакой необходимости в определении операций вычитания и деления.

Определяя операции сложения и умножения, мы можем вычислять размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел либо по одному алгоритму, либо по разным. Сперва рассмотрим случай, когда размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел вычисляется по одному алгоритму. Определим операции сложения и умножения нечетких треугольных чисел следующим образом:

где — либо сложение, либо умножение,

— некоторая бинарная операция, определенная на множестве неотрицательных действительных чисел.

Опишем, какими свойствами должна обладать операция для того, чтобы сложение и умножение были коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны, а также существовали противоположные и обратные элементы.

Очевидно, что для того, чтобы операция была коммутативной и ассоциативной,

также должна быть коммутативной и ассоциативной, т.е. удовлетворять следующим условиям:

(1)

Пусть — нечеткий ноль. Очевидно, что его мода равна нулю, а коэффициенты размытости , и фиксированные значения. Тогда для любого имеем

Для того, чтобы каждое нечеткое число обладало противоположным, необходимо, чтобы для любого

существовали , такие, что

Аналогично, если — нечеткая единица, то для любого имеем

И для любого существуют , такие, что

Легко заметить, что алгебраическая система

образует абелеву группу. Следовательно,

и для любого имеем .

Для того, чтобы операции удовлетворяли условию дистрибутивности, необходимо и достаточно, чтобы для любых

операция удовлетворяла следующему условию:

(2)

Если коммутативна и ассоциативна, то получим

Следовательно, для того, чтобы условие (2) выполнялось, достаточно, чтобы была коммутативна, ассоциативна и идемпотентна, т.е.
удовлетворяла условиям (1) и для любого

Нетрудно показать, что никакая группа не обладает свойством идемпотентности.

Вывод

Невозможно построить арифметику нечетких треугольных чисел, изоморфную арифметике действительных (четких) чисел, если размытость суммы и произведения нечетких треугольных чисел вычисляется по одному алгоритму.

Теперь рассмотрим случай, когда размытость суммы и произведения определяются по разным алгоритмам. Пусть

Очевидно, что если алгебраическая система

удовлетворяет свойствам коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, существования нейтрального и единичного элементов, существования противоположного и обратного элементов, то она образует ассоциативное, коммутативное кольцо с единицей и с делением (т.е. почти поле).

Пример.

Рассмотрим поле действительных чисел. Функция является взаимно однозначным отображением на . Определим операции и таким образом, чтобы являлось изоморфизмом соответствующих систем. Очевидно, что должны выполняться следующие равенства:

Таким образом, мы получим

Нетрудно убедиться, что при таком задании операций размытости арифметика

будет коммутативной, ассоциативной и дистрибутивной. Роль нулевого элемента будет выполнять нечеткое треугольное число ; роль единичного элемента — нечеткое треугольное число . Для произвольного нечеткого треугольного числа противоположным числом будет и обратным элементом будет .

Недостатком этой арифметики является то, что в нее не входят четкие и "получеткие" числа, т.е. числа, у которых хотя бы один из коэффициентов размытости равен нулю. Но этого легко избежать, если доопределить ее, например, следующим образом:

Заметим, что, варьируя мощность изоморфного поля, мы тем самым варьируем и мощность множества коэффициентов размытости, используемых в данной арифметике.

Нечеткие треугольные числа

На практике часто используется альтернативное определение нечеткого треугольного числа.

Определение.

Треугольным нечетким числом называется тройка

действительных чисел, через которые его функция принадлежности

определяется следующим образом:

Второе число тройки обычно называют

модой или четким значением нечеткого треугольного числа. Числа и характеризуют степень размытости четкого числа.

Например, на рис. 7.3

изображено нечеткое треугольное число , которое лингвистически можно проинтерпретировать как "около 5" или "приблизительно 5".

Рис. 7.3. 

В общем случае при определении нечеткого треугольного числа не обязательно использовать линейные функции. Часто в различных приложениях используются две функции, из которых одна монотонно возрастает на интервале , а другая монотонно убывает на интервале . Однако Купер предложил так называемый landmark-based метод для систем управления, в соответствие с которым монотонности и дифференцируемости данных функций на соответствующих отрезках достаточно для того, чтобы система сходилась и имела единственное решение. Таким образом, без потери общности, каждое нечеткое треугольное число может быть представлено упорядоченной тройкой действительных чисел.

Если и — треугольные нечеткие числа, то, согласно принципу обобщения Заде, нечеткое треугольное число также является треугольным и характеризуется тройкой , где

К сожалению, даже при ограничении нашего виденья нечетких чисел до понятия треугольных чисел, проблемы противоположного, обратного элементов и дистрибутивности остаются нерешенными.

Было предложено ввести некоторые ограничения на вычисление частных случаев вида . Ограничения эти позволяют получить противоположный и обратный элементы. Однако проблема дистрибутивности таким способом не решается. Более того, ограничения кажутся довольно искусственными: чем, к примеру, можно объяснить различие в алгоритмах вычисления и ?

Есть еще один существенный недостаток такого подхода. Размытость произведения зависит не только от размытости сомножителей, но и от того, какое место данные нечеткие числа занимают на числовой оси.
Например, пусть Тогда и . Число получается гораздо более размытое, чем .

Позднее было предложено другое определение нечеткого числа.

Определение.

Нечетким числом называется пара функций , удовлетворяющих следующим условиям:

— монотонно возрастающая непрерывная функция; — монотонно убывающая непрерывная функция;

Это позволило авторам ввести понятие меры и превратить множество нечетких чисел в топологическое пространство.

Далее была предложена следующая модификация определения нечеткого числа.

Определение.

Для любого нечеткого числа

число

называется локальным индексом числа , две неубывающие непрерывные функции и называются левым и правым индексами нечеткости, соответственно.

Согласно данному определению, каждое нечеткое число может быть представлено следующим образом: .

Далее вводится понятие арифметических операций над нечеткими числами такого вида. Для любых нечетких чисел

и

они определяются следующим образом:

Этот подход позволяет решить проблему дистрибутивности, так как размытость числа для всех четырех операций вычисляется при помощи единственногооператора, который дистрибутивен относительно самого себя (т.е. коммутативен, ассоциативен и идемпотентен).

Несмотря на это преимущество, проблемы противоположного и обратного элементов и при таком подходе остаются нерешенными.

Основные определения

Нечеткое число — это нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, имеющее нормальную и выпуклую функцию принадлежности, то есть такую, что: а) существует значение носителя, в котором функция принадлежности равна единице, а также b) при отступлении от своего максимума влево или вправо функция принадлежности не возрастает.

Нечеткое число унимодально, если условие

справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число называется нечетким нулем, если

Подмножество называется носителем

нечеткого числа , если

Нечеткое число положительно, если , и отрицательно, если .

Согласно принципу обобщения Заде было введено понятие арифметических операций на множестве нечетких чисел. Для произвольных нечетких чисел и для любых чисел

справедливо

Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом:

Анализ свойств арифметических операций над нечеткими числами показал, что нечеткое число не имеет противоположного и обратного чисел, сложение и умножение коммутативны, ассоциативны и в общем случае недистрибутивны.

При решении задач математического моделирования нечетких систем можно использовать нечеткие числа (L-R)-типа, которые предполагают более простую интерпретацию расширенных бинарных отношений.

Размытые арифметики нечетких треугольных чисел

В предыдущем параграфе мы доказали, что возможно построить арифметику нечетких треугольных чисел, аналогичную арифметике четких чисел. Однако, на наш взгляд, каждая такая арифметика будет обладать одним существенным недостатком.

Рассмотрим арифметику , описанную в примере. Пусть , где . Для произвольного числа выполняется

Если имеет некоторое лингвистическое значение (например, "приблизительно "), то нечеткое число является некоторым модификатором числа (например, "болееили менее приблизительно "). Таким образом, нечеткое число

является "приблизительно нулевым элементом". Более того, при и эта "приблизительность" возрастает. Однако при формальном описании арифметики это свойство нигде не отражается.

Рассмотрим новый подход к арифметике нечетких чисел, который успешно формализует описанное выше свойство без потери свойств, аналогичных свойствам четкой арифметики. При этом подходе нечеткость рассуждений увеличивается, но это не всегда является минусом.

Основная идея данного подхода заключается в том, что понятие нечеткости накладывается на арифметические операции. То есть результатом произведения (или сложения) двух нечетких треугольных чисел является не одно конкретное нечеткое треугольное число, а нечеткое множество, определенное на множестве нечетких треугольных чисел. Такие операции названы размытыми операциями. Следовательно, и арифметику нечетких чисел с размытыми операциями мы будем называть размытой (сокращенно РА-НТЧ). Рассмотренные выше арифметики мы будем называть четкими (сокращенно ЧА-НТЧ).

Пусть нам задана некоторая ЧА-НТЧ

. На базе этой арифметики будем строить РА-НТЧ .

Пусть нам даны нечеткие числа и . Множество является нечетким подмножеством множества

c функцией приоритета , которая для любого нечеткого треугольного числа удовлетворяет условию

(3)

где .

Введем новое обозначение. Пусть . Тогда, если , то будем записывать . Если же , то будем записывать . Число

назовем каноническим представителем произведения .
Очевидно, что

Для всех остальных нечетких чисел, чья мода равна , значение функции принадлежности уменьшается с увеличением "удаленности" данного числа от канонического представителя.

Независимо от задания арифметики , размытая арифметика будет обладать слабым свойством коммутативности, т.е. для любых будет выполнено следующее равенство множеств .

На самом деле, если найдется такое число , что , то, согласно (3), имеем . Так как на множестве действительных чисел и сложение, и умножение коммутативны, то , и, следовательно, найдется такое число , что . Заметим, что в общем случае . Именно поэтому свойство названо "слабым".

Если ЧА-НТЧ обладает свойством коммутативности, то РА-НТЧ будет обладать сильным свойством коммутативности, т.е. для любых выполняется

Прежде чем говорить об ассоциативности и дистрибутивности, необходимо рассмотреть алгоритм вычисления арифметических выражений, содержащих более двух нечетких треугольных чисел.

Пусть — некоторое арифметическое выражение, содержащие нечеткие числа . Сперва найдем канонический представитель

этого выражения, т.е. значение выражения в ЧА-НТЧ . Тогда для любого имеем где

Нетрудно убедиться, что полученная арифметика будет обладать свойствами слабой ассоциативности и слабой дистрибутивности, т.е. для любых

выполнены следующие равенства множеств:

Необходимым и достаточным условием для выполнения сильных свойств ассоциативности и дистрибутивности является условие выполнения этих свойств в арифметике .

В построенной нами арифметике следующим образом определим понятия нулевого и единичного элементов. Элемент

называется нулевым, если для любого

найдутся такие числа , что

И, аналогично, элемент называется единичным, если для любого

найдутся такие числа , что

Нетрудно убедиться, что все нечеткие треугольные числа, мода которых равна нулю, являются нулевыми, и нечеткие треугольные числа, мода которых равна единице, являются единичными.

Вернемся теперь к рассмотрению проблемы, описанной в начале данного параграфа.Пусть число

— нулевой элемент в арифметике . Тогда для любого

имеем . Если , или ). Тогда найдутся такие числа , что

и . Более того,

Проблема противоположного и обратного элементов решается по аналогии с проблемой коммутативности; в слабом варианте проблема решается автоматически, а усиленный вариант зависит от того, существуют ли противоположный и обратный элементы в арифметике .

Нечеткая логика

В сочетании слов "нечеткий" и "логика" есть что-то необычное. Логика в обычном смысле слова есть представление механизмов мышления, то, что никогда не может быть нечетким, но всегда строгим и формальным. Однако математики, исследовавшие эти механизмы мышления, заметили, что в действительности существует не одна логика (например, булева), а столько, сколько мы пожелаем, потому что все определяется выбором соответствующей системы аксиом. Конечно, как только аксиомы выбраны, все утверждения, построенные на их основе, должны быть строго, без противоречий увязаны друг с другом согласно правилам, установленным в этой системе аксиом.

Человеческое мышление — это совмещение интуиции и строгости, которое, с одной стороны, рассматривает мир в целом или по аналогии, а с другой стороны — логически и последовательно и, значит, представляет собой нечеткий механизм. Законы мышления, которые мы захотели бы включить в программы компьютеров, должны быть обязательно формальными; законы мышления, проявляемые в диалоге человека с человеком — нечеткие. Можем ли мы поэтому утверждать, что нечеткая логика может быть хорошо приспособлена к человеческому диалогу? Да — если математическое обеспечение, разработанное с учетом нечеткой логики, станет операционным и сможет быть технически реализовано, то человеко-машинное общение станет намного более удобным, быстрым и лучше приспособленным к решению проблем.

Термин "нечеткая логика" используется обычно в двух различных значениях. В узком смысле, нечеткая логика — это логическое исчисление, являющееся расширением многозначной логики. В ее широком смысле, который сегодня является преобладающим в использовании, нечеткая логика равнозначна теории нечетких множеств. С этой точки зрения, нечеткая логика в узком смысле является разделом нечеткой логики в широком смысле.

Определение.

Любая нечеткая переменная характеризуется тройкой

где — название переменной, — универсальное множество, — нечеткое подмножество множества , представляющее собой нечеткое ограничение на значение переменной , обусловленное .

Используя аналогию с саквояжем, нечеткую переменную можно уподобить саквояжу с ярлыком, имеющим "мягкие" стенки. Тогда

— надпись на ярлыке (название саквояжа), — список предметов, которые в принципе можно поместить в саквояж, а — часть этого списка, где для каждого предмета

указано число , характеризующее степень легкости, с которой предмет можно поместить в саквояж .

Рассмотрим теперь различные подходы к определению основных операций над нечеткими переменными, а именно конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Данные операции являются основными для нечеткой логики в том смысле, что все ее конструкции основываются на этих операциях. В настоящее время в нечеткой логике в качестве операций конъюнкции и дизъюнкции широко используют -нормы и -конормы, пришедшие в нечеткую логику из теории вероятностных метрических пространств. Они достаточно хорошо изучены и лежат в основе многих формальных построений нечеткой логики. В то же время расширение области приложений нечеткой логики и возможностей нечеткого моделирования вызывает необходимость обобщения этих операций. Одно направление связано с ослаблением их аксиоматики с целью расширения инструментария нечеткого моделирования. Другое направление обобщения операций конъюнкции и дизъюнкции нечеткой логики связано с заменой множества значений принадлежности на линейно или частично упорядоченное множество лингвистических оценок правдоподобности. Эти обобщения основных операций нечеткой логики, с одной стороны, вызываются необходимостью разработки экспертных систем, в которых значения истинности фактов и правил описываются экспертом или пользователем непосредственно в лингвистической шкале и носят качественный характер. С другой стороны, такие обобщения вызываются смещением направления активного развития нечеткой логики от моделирования количественных процессов, поддающихся измерению, к моделированию процессов мышления человека, где восприятие мира и принятие решений происходит на основе гранулирования информации и вычисления словами.

Естественным обобщением иволютивных операций отрицания нечеткой логики являются неиволютивные отрицания. Они представляют самостоятельный интерес и рассматриваются в нечеткой и других неклассических логиках. Необходимость исследования подобных операций отрицания вызывается также введением в рассмотрение обобщенных операций конъюнкции и дизъюнкции, связанных друг с другом с помощью операции отрицания.

Операции конъюнкции и дизъюнкции

Как отмечалось на предыдущих лекциях, операции конъюнкции и , введенные Заде, обладают почти всеми свойствами соответствующих булевых операций. Это позволяет легко обобщать для нечеткого случая многие понятия "четкой" логики. Однако с других точек зрения эти операции являются ограничительными. Возможность рассмотрения более "мягких" операций конъюнкции и дизъюнкции обсуждал еще Заде в своих первых работах.

Целесообразность применения тех или иных операций конъюнкции и дизъюнкции в нечеткой логике может рассматриваться с разных позиций в зависимости от области приложения нечеткой логики.

Во-первых, эти операции интересны с точки зрения моделирования лингвистических связок "и" и "или", используемых человеком. С одной стороны, операции и

являются адекватными в порядковых шкалах, в которых обычно измеряются лингвистические оценки. Это обусловливает их широкое применение в нечетких лингвистических моделях. Однако, недостатком этих операций является то, что их результат равен значению одного операнда и не меняется при изменении значений второго операнда в определенном диапазоне величин. Например, для всех значений . Кроме того, в ряде экспериментальных работ было установлено, что операции и не являются достаточно удовлетворительными с точки зрения моделирования лингвистических связок. Это привело к появлению работ по разработке строго монотонных операций в порядковых шкалах, по настраиваемым на эксперта табличным операциям, а также стимулировало исследования по поиску новых операций конъюнкции и дизъюнкции.

Во-вторых, расширение класса операций конъюнкции и дизъюнкции было вызвано необходимостью построения достаточно общих математических моделей, которые могли бы с единых позиций рассматривать, например, вероятностные и многозначные логики, различные методы принятия решений, обработки данных и т.д. Подобное расширение произошло в результате введения в рассмотрение недистрибутивных операций конъюнкции и дизъюнкции, известных под названием -норм и -конорм.

Докажем, что условие дистрибутивности совместно с условиями монотонности и граничными условиями однозначно определяет операции Заде. Итак, пусть нам даны две операции и , удовлетворяющие следующим условиям:

Дистрибутивность:

Монотонность:

Граничные условия:



Из монотонности и граничных условий следует выполнение условий:

Далее выводится условие идемпотентности дизъюнкции:

И из следует

Аналогично выводится

Установлено, что именно условие дистрибутивности является наиболее жестким ограничением на возможную форму операций конъюнкции и дизъюнкции. Удаление этого свойства из множества аксиом устраняет единственность операций и и дает возможность совершать построения широкого спектра нечетких связок. Свойство дистрибутивности очень важно в логике, так как оно дает возможность совершать эквивалентные преобразования логических форм из дизъюнктивной в конъюнктивную форму и обратно. Оно активно используется в процедурах минимизации логических функций, в процедурах логического вывода на основе принципа резолюции и т.п. Однако, во многих задачах такие преобразования логических форм не являются необходимыми, и поэтому оказалось, что свойство дистрибутивности может быть "довольно безболезненно" удалено из системы аксиом, определяющих нечеткие операции конъюнкции и дизъюнкции. Основной аксиомой для них является ассоциативность, и свойства этих операций во многом определяются общими свойствами ассоциативных функций и операций, активно изучающихся в математике.

Простейшими примерами недистрибутивных операций являются следующие -нормы и -конормы:

(минимум),

(максимум),

(произведение),

(вероятностная сумма),

(t-норма Лукасевича),

(t-конорма Лукасевича),

(сильное произведение),

(сильная сумма).

Для любых -норм и -конорм выполняются следующие неравенства:

Таким образом, -нормы и

являются минимальной и максимальной границами для всех -норм. Аналогично, -конормы

являются минимальной и максимальной границами для всех -конорм. Эти неравенства очень важны для практического применения, так как они устанавливают границы возможного варьирования операций недистрибутивных конъюнкции и дизъюнкции.



В-третьих, рассмотрение логических операций конъюнкции и дизъюнкции как вещественных функций, являющихся компонентами нечетких моделей процессов и систем, естественно вызывает необходимость рассмотрения широкого класса таких функций, увеличивающих гибкость моделирования. По этим причинам, в ряде приложений нечеткой логики некоторые аксиомы -норм и -конорм также оказались ограничительными. В частности, параметрические классы данных операций имеют достаточно сложный вид, затрудняющий их аппаратную реализацию и оптимизацию нечетких моделей по параметрам этих операций. Сложность параметрических классов конъюнкций и дизъюнкций определяется способом генерации этих операций, который фактически определяется условием ассоциативности. С этой точки зрения свойство ассоциативности может рассматриваться как ограничительное. В то же время, свойство коммутативности операций конъюнкции и дизъюнкции может рассматриваться как необязательное ограничение на эти операции, так как в общем случае в нечетких моделях операнды данных операций могут характеризовать переменные, по-разному влияющие на результат. Свойства ассоциативности и коммутативности являются важными, например, в нечетких моделях многокритериального принятия решений, поскольку одним из разумных требований, накладываемых на процедуры принятия решений, является их независимость от порядка рассмотрения альтернатив и критериев. Но для систем нечеткого вывода эти свойства не всегда являются необходимыми, особенно когда позиции переменных в нечетких правилах и процедуры обработки правил фиксированы, а также когда число входных переменных не превышает двух, что бывает во многих реальных приложениях нечетких моделей. По этой причине из определения нечетких операций конъюнкции и дизъюнкции могут быть удалены свойства коммутативности и ассоциативности так же, как это было ранее сделано со свойствами дистрибутивности.

В качестве примера некоммутативных, неассоциативных операций дизъюнкции и конъюнкции можно привести следующие:

Операции отрицания

Пусть множество значений функций принадлежности является линейно упорядоченным множеством с наименьшим 0

и наибольшим 1 элементами. Примером

может служить интервал вещественных чисел , шкала лингвистических оценок (например, L={"неправдоподобно", "малоправдоподобно", "средняя правдоподобность", "большая правдоподобность", "наверняка"}, шкала балльных оценок и др.

Определение.

Операцией отрицания на называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

(О1) ;

(O2) .

В зависимости от выполнения на дополнительных условий, рассматриваются следующие типы отрицаний:

Строгое отрицание: ;Квазистрогое отрицание: ;Инволюция: ;Обычное отрицание: ;Слабое отрицание: .

Слабое отрицание называется также интуиционистским отрицанием. Элемент из будет называться иволютивным элементом, если , в противном случае он будет называться неиволютивным. Отрицание будет называться неиволютивным, если содержит неиволютивные по этому отрицанию элементы.

Элемент , удовлетворяющий условию , называется фиксированной точкой. Этот элемент будет центральным элементом (фокусом) . Очевидно, что если фиксированная точка существует, то она единственна.

Отрицание называется сжимающим в точке , если выполнено условие

Отрицание называется сжимающим на , если оно сжимающее в каждой точке множества .

Отрицание называется разжимающим в точке , если выполнено условие

Отрицание называется разжимающим на , если оно является разжимающим в каждой точке множества .

Теорема

Для любого отрицания любая точка является либо сжимающей, либо разжимающей.

Доказательство

Пусть , тогда из условия (О2) получим , откуда следует либо , либо . Аналогично, из

получаем , и, следовательно, либо , либо

Следствие

Элемент является иволютивным тогда и только тогда, если он одновременно сжимающий и разжимающий.

Используя математические методы, можно доказать, что элементы, порождаемые сжимающими и разжимающими отрицаниями в точках, представляют собой спирали, соответственно "закручиваемые внутрь" или "раскручиваемые наружу".
Эти спирали либо бесконечные, либо в конечном случае имеют петлю на конце, состоящую из двух элементов, которые для сжимающих отрицаний могут совпадать, образуя неподвижную точку отрицания. Спирали, порождаемые разными элементами, либо вложены друг в друга, либо совпадают, начиная с некоторого элемента.

На рис. 8.1 даны примеры сжимающего и разжимающего в точке

отрицания. Элементы представлены вершинами соответствующего графа и упорядочены снизу вверх, в частности, . Элементы y порождаются элементами так, что

для рис. 8.1(А) и для рис. 8.1(Б).

Рис. 8.1. 

Рассмотрим простейшие примеры отрицаний. Во всех примерах предполагается, что содержит элементы, отличные от 0 и 1.

Пример.

"Все, что не истина и не ложь, является неопределенностью".
Рис. 8.2. 

где — некоторый элемент из такой, что . Это отрицание является сжимающим, ни обычным, ни слабым, с фиксированной точкой.

Лингвистические переменные истинности

В каждодневных разговорах мы часто характеризуем степень истинности утверждения посредством таких выражений, как "очень верно", "совершенно верно", "более или менее верно", "ложно", "абсолютно ложно" и т.д. Сходство между этими выражениями и значениями лингвистической переменной наводит на мысль о том, что в ситуациях, когда истинность или ложность утверждения определены недостаточно четко, может оказаться целесообразным трактовать ИСТИННОСТЬ как лингвистическую переменную, для которой ИСТИНО и ЛОЖНО — лишь два атомарных терма в терм-множестве этой переменной. Такую переменную будем называть лингвистической переменной истинности, а ее значения — лингвистическими значениями истинности.

Трактовка истинности как лингвистической переменной приводит к нечеткой лингвистической логике, которая совершенно отлична от обычной двузначной или даже многозначной логики. Такая нечеткая логика является основой того, что можно было бы назвать приближенными рассуждениями, т.е. видом рассуждений, в которых значения истинности и правила их вывода являются нечеткими, а не точными. Приближенные рассуждения во многом сродни тем, которыми пользуются люди в некорректно определенных или не поддающихся количественному описанию ситуациях. В самом деле, вполне возможно, что многие, если не большинство человеческих рассуждений по своей природе приближенны, а не точны.

В дальнейшем будем пользоваться термином "нечеткое высказывание" для обозначения утверждения вида " есть ", где — название предмета, а — название нечеткого подмножества универсального множества , например, "Джон — молодой", "X — малый", "яблоко — красное" и т.п. Если интерпретировать как нечеткий предикат, то утверждение " есть " можно перефразировать как " имеет свойство ".

Будем полагать, что высказыванию типа " есть " соответствуют два нечетких подмножества:

— смысл , т.е. нечеткое подмножество с названием

универсального множества ;Значение истинности утверждения " есть ", которое будем обозначать и определять как возможно нечеткое подмножество универсального множества значений истинности . Будем предполагать, что .

Значение истинности, являющееся числом в , например , будем называть числовым значением истинности. Числовые значения истинности играют роль значений базовой переменной для лингвистической переменной ИСТИННОСТЬ. Лингвистические значения переменной ИСТИННОСТЬ будем называть лингвистическими значениями истинности. Более точно будем предполагать, что ИСТИННОСТЬ — название булевой лингвистической переменной, для которой атомарным является терм ИСТИННЫЙ, а терм ЛОЖНЫЙ определяется не как отрицание терма ИСТИННЫЙ, а как его зеркальное отображение относительно точки . Далее мы покажем, что такое определение значения ЛОЖНЫЙ является следствием его определения как значения истинности высказывания " есть не " при предположении, что значение истинности высказывания " есть " является ИСТИННЫМ.

Предполагается, что смысл первичного терма ИСТИННЫЙ является нечетким подмножеством интервала с функцией принадлежности типа показанной на рис. 9.2

увеличить изображение
Рис. 9.2. 

Здесь точка является точкой перехода. Соответственно, для терма ЛОЖНЫЙ имеем

Логические связки в нечеткой лингвистической логике

Чтобы заложить основу для нечеткой лингвистической логики, необходимо расширить содержание таких логических операций, как отрицание, дизъюнкция, конъюнкция и импликация, применительно к высказываниям, которые имеют не числовые, а лингвистические значения истинности.

При рассмотрении этой проблемы полезно иметь в виду, что если — нечеткое подмножество универсального множества и , то два следующих утверждения эквивалентны:

Степень принадлежности элемента нечеткому множеству есть . Значение истинности нечеткого предиката " есть " также равно .

Таким образом, вопрос "Что является значением истинности высказывания " есть " И " есть ", если заданы лингвистические значения истинности высказываний " есть " и " есть "?" аналогичен вопросу "Какова степень принадлежности элемента множеству , если заданы степени принадлежности элемента множествам и ?".

В частности, если — точка в , представляющая значение истинности высказывания " есть " (или просто ), где — элемент универсального множества , то значение истинности высказывания "

есть не " (или ) определяется выражением

Предположим теперь, что — не точка в , нечеткое подмножество интервала , представленное в виде

Тогда получим

В частности, если значение истинности есть ИСТИННО, т.е. ИСТИННО, то значение истинности ЛОЖНО является значением истинности для высказывания .

Замечание

Следует отметить, что если ИСТИННЫЙ , то функция будет интерпретироваться термом НЕ ИСТИННЫЙ, а функция — термом ЛОЖНЫЙ, что в принципе не одно и то же (см. рис. 9.2).

То же самое относится к лингвистическим неопределенностям. Например, если ИСТИННЫЙ, то значение терма ОЧЕНЬ ИСТИННЫЙ равно (см. рис. 9.3).

С другой стороны, если значение истинности высказывания есть , то функция будет выражать значение истинности высказывания "очень ".

Рис. 9.3. 

Перейдем к бинарным связкам. Пусть и

— лингвистические значения истинности высказываний и

соответственно. В случае, когда и — точечные оценки, имеем:

где операции и сводятся к операциям нечеткой логики (см. предыдущую лекцию).

Если и — лингвистические значения истинности, заданные функциями

то, согласно принципу обобщения, конъюнкция и дизъюнкция будут вычисляться по следующим формулам:

Замечание

Важно четко понимать разницу между связкой И (ИЛИ) в терме, например, ИСТИННЫЙ И (ИЛИ) НЕ ИСТИННЫЙ и символом

() в высказывании ИСТИННЫЙ () НЕ ИСТИННЫЙ. В первом случае, нас интересует смысл терма ИСТИННЫЙ И (ИЛИ) НЕ ИСТИННЫЙ, и связка И (ИЛИ) определяется отношением

(ИСТИННЫЙ И (ИЛИ) НЕ ИСТИННЫЙ)=

= (ИСТИННЫЙ) () (НЕ ИСТИННЫЙ),

где — смысл терма . Напротив, в случае терма ИСТИННЫЙ () НЕ ИСТИННЫЙ нас в основном интересует значение истинности высказывания ИСТИННЫЙ

НЕ ИСТИННЫЙ, которое получается из равенства

(A И (ИЛИ) B) = .

Понятие лингвистической переменной

Лингвистическая переменная отличается от числовой переменной тем, что ее значениями являются не числа, а слова или предложения в естественном или формальном языке. Поскольку слова в общем менее точны, чем числа, понятие лингвистической переменной дает возможность приближенно описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются описанию в общепринятых количественных терминах. В частности, нечеткое множество, которое представляет собой ограничение, связанное со значениями лингвистической переменной, можно рассматривать как совокупную характеристику различных подклассов элементов универсального множества. В этом смысле роль нечетких множеств аналогична той роли, которую играют слова и предложения в естественном языке. Например, прилагательное "КРАСИВЫЙ" отражает комплекс характеристик внешности индивидуума. Это прилагательное можно также рассматривать как название нечеткого множества, которое является ограничением, обусловленным нечеткой переменной "КРАСИВЫЙ". С этой точки зрения термины "ОЧЕНЬ КРАСИВЫЙ", "НЕКРАСИВЫЙ", "ЧЕРЕЗВЫЧАЙНО КРАСИВЫЙ", "ВПОЛНЕ КРАСИВЫЙ" и т.п. — названия нечетких множеств, образованных путем действия модификаторов "ОЧЕНЬ, НЕ, ЧЕРЕЗВЫЧАЙНО, ВПОЛНЕ" и т.п. на нечеткое множество "КРАСИВЫЙ". В сущности, эти нечеткие множества вместе с нечетким множеством "КРАСИВЫЙ" играют роль значений лингвистической переменной "ВНЕШНОСТЬ".

Важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что эта переменная более высокого порядка, чем нечеткая переменная, в том смысле, что значениями лингвистической переменной являются нечеткие переменные. Например, значениями лингвистической переменной "ВОЗРАСТ" могут быть: "МОЛОДОЙ, НЕМОЛОДОЙ, СТАРЫЙ, ОЧЕНЬ СТАРЫЙ, НЕ МОЛОДОЙ И НЕ СТАРЫЙ" и т.п. Каждое из этих значений является названием нечеткой переменной. Если — название нечеткой переменной, то ограничение, обусловленное этим названием, можно интерпретировать как смысл нечеткой переменной .

Другой важный аспект понятия лингвистической переменной состоит в том, что лингвистической переменной присущи два правила:

Cинтаксическое, которое может быть задано в форме грамматики, порождающей название значений переменной;Cемантическое, которое определяет алгоритмическую процедуру для вычисления смысла каждого значения.

Определение.

Лингвистическая переменная характеризуется набором свойств , в котором:

— название переменной;

обозначает терм-множество переменной , т.е. множество названий лингвистических значений переменной , причем каждое из таких значений является нечеткой переменной со значениями из универсального множества с базовой переменной ;

— синтаксическое правило, порождающее названия значений переменной ;

— семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной ее смысл , т.е. нечеткое подмножество универсального множества .

Конкретное название , порожденное синтаксическим правилом , называется термом. Терм, который состоит из одного слова или из нескольких слов, всегда фигурирующих вместе друг с другом, называется атомарным термом. Терм, который состоит из более чем одного атомарного терма, называется составным термом.

Пример.

Рассмотрим лингвистическую переменную с именем "ТЕМПЕРАТУРА В КОМНАТЕ". Тогда оставшуюся четверку , можно определить так:

универсальное множество U=[5,35];терм-множество T={"ХОЛОДНО", "КОМФОРТНО", "ЖАРКО"} с такими функциями принадлежностями:

синтаксическое правило , порождающее новые термы с использованием квантификаторов "и", "или", "не", "очень", "более-менее" и других; будет являться процедурой, ставящей каждому новому терму в соответствие нечеткое множество из по правилам: если термы и имели функции принадлежности и

соответственно, то новые термы будут иметь следующие функции принадлежности, заданные в таблице:КвантификаторФункция принадлежности ()

не
очень
более-менее
и
или

Значения истинности НЕИЗВЕСТНО и НЕ ОПРЕДЕЛЕНО

Среди возможных значений истинности лингвистической переменной ИСТИННОСТЬ два значения привлекают особое внимание, а именно пустое множество и единичный интервал , которые соответствуют наименьшему и наибольшему элементам (по отношению включения) решетки нечетких подмножеств интервала . Важность именно этих значений истинности обусловлена тем, что их можно интерпретировать как значения истинности НЕ ОПРЕДЕЛЕНО и НЕИЗВЕСТНО соответственно.

Важно четко понимать разницу между и . Когда мы говорим, что степень принадлежности точки множеству есть , мы имеем в виду, что функция принадлежности не определена в точке . Предположим, например, что — множество действительных чисел, а — функция, определенная на множестве целых чисел, причем , если четное, и , если нечетное. Тогда степень принадлежности числа множеству есть , а не .

С другой стороны, если бы была определена на множестве действительных чисел и тогда и только тогда, если — четное число, то степень принадлежности числа 1,5 множеству была бы равна .

Понятие значения истинности НЕИЗВЕСТНО в сочетании с принципом обобщения помогает уяснить некоторые понятия и соотношения обычных двухзначных и трехзначных логик. Эти логики можно рассматривать как вырожденные случаи нечеткой логики, в которой значением истинности НЕИЗВЕСТНО является весь единичный интервал, а не множество .

Композиционное правило вывода

Композиционное правило вывода — это всего лишь обобщение следующей знакомой процедуры. Предположим, что имеется кривая

(см. рис. 10.1(А)) и задано значение . Тогда из того, что и , мы можем заключить, что .

Обобщим теперь этот процесс, предположив, что — интервал, а — функция, значения которой суть интервалы, как на рисунке 10.1(Б). В этом случае, чтобы найти интервал , соответствующий интервалу , мы сначала построим цилиндрическое множество с основанием и найдем его пересечение с кривой, значения которой суть интервалы. Затем спроектируем это пересечение на ось и получим желаемое значение в виде интервала .

увеличить изображение
Рис. 10.1. 

Чтобы продвинуться еще на один шаг по пути обобщения, предположим, что — нечеткое подмножество оси , а — нечеткое отношение в

(см. рис. 10.1(В)). Вновь образуя цилиндрическое нечеткое множество с основанием и его пересечение с нечетким отношением , мы получим нечеткое множество , которое является аналогом точки пересечения I на рис. 10.1(А). Таким образом, из того, что и — нечеткое подмножество оси , мы получаем значение в виде нечеткого подмножества оси .

Правило. Пусть и — два универсальных множества с базовыми переменными и , соответственно. Пусть и — нечеткие подмножества множеств и . Тогда композиционное правило вывода утверждает, что из нечетких множеств и следует нечеткое множество . Согласно определению композиции нечетких множеств, получим

Пример.

Пусть ,

A = МАЛЫЙ,

Тогда получим

что можно проинтерпретировать следующим образом:

B = БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ МАЛЫЙ,

если терм БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ определяется как оператор увеличения нечеткости.

Словами этот приближенный вывод можно записать в виде

Нечеткие экспертные системы

Логико-лингвистические методы описания систем основаны на том, что поведение исследуемой системы описывается в естественном (или близком к естественному) языке в терминах лингвистических переменных. Входные и выходные параметры системы рассматриваются как лингвистические переменные, а качественное описание процесса задается совокупностью высказываний следующего вида:

L1 если A11 и/или A2 и/или ... и/или A1m, то B11 и/или ... и/или B1n,

L2 если A21 и/или A22 и/или ... и/или A2m, то B21 и/или ... и/или B2n,

.....................

Lk если Ak1 и/или Ak2 и/или ... и/или Akm, то Bk1 и/или ... и/или Bkn,

где ,

— нечеткие высказывания, определенные на значениях входных лингвистических переменных, а ,

— нечеткие высказывания, определенные на значениях выходных лингвистических переменных. Эта совокупность правил носит название нечеткой базы знаний.

Подобные вычисления составляют основу нечетких экспертных систем. Каждая нечеткая экспертная система использует нечеткие утверждения и правила.

Затем с помощью операторов вычисления дизъюнкции и конъюнкции описание системы можно привести к виду

L1: если А1, то B1,

L2: если А2, то B2,

.....................

Lk: если Аk, то Bk,

где — нечеткие множества, заданные на декартовом произведении универсальных множеств входных лингвистических переменных, а — нечеткие множества, заданные на декартовом произведении универсальных множеств выходных лингвистических переменных.

В основе построения логико-лингвистических систем лежит рассмотренное выше композиционное правило вывода Заде.

Преимущество данной модели - в ее универсальности. Нам неважно, что именно на входе — конкретные числовые значения или некоторая неопределенность, описываемая нечетким множеством. Но за данную универсальность приходится расплачиваться сложностью системы — нам приходится работать в пространстве размерности . Поэтому этой общей моделью на практике пользуются довольно редко. Обычно же используют ее упрощенный вариант, называемый нечетким выводом. Он основывается на предположении, что все входные лингвистические переменные имеют известные нам числовые значения (как и бывает довольно часто на практике). Также обычно не используют более одной выходной лингвистической переменной.

Нечетким логическим выводом (fuzzy logic inference) называется аппроксимация зависимости каждой выходной лингвистической переменной от входных лингвистических переменных и получение заключения в виде нечеткого множества, соответствующего текущим значениям входов, с использованием нечеткой базы знаний и нечетких операций. Основу нечеткого логического вывода составляет композиционное правило Заде.

Правило modus ponens как частный случай композиционного правила вывода

Как мы увидим ниже, правило modus ponens можно рассматривать как частный случай композиционного правила вывода. Чтобы установить эту связь, мы сперва обобщим понятие материальной импликации с пропозициональными переменными на нечеткие множества.

Пусть и — нечеткие высказывания и — соответствующие им функции принадлежности. Тогда импликации

будет соответствовать некоторая функция принадлежности . По аналогии с традиционной логикой, можно предположить, что

Тогда

Однако, это не единственное обобщение оператора импликации. В следующей таблице показаны различные интерпретации этого понятия.

Larsen
Lukasiewicz
Mamdani
Standard Strict
Godel
Gaines
Kleene-Dienes
Kleene-Dienes-Lu

Определим теперь обобщенное правило modus ponens (generalized modus ponens).

Предпосылка
Событие
Вывод

Приведенная формулировка имеет два отличия от традиционной формулировки правила modus ponens : во-первых, здесь допускается, что — нечеткие множества, и, во-вторых, необязательно идентично .

Теория приближенных рассуждений

Под приближенными рассуждениями понимается процесс, при котором из нечетких посылок получают некоторые следствия, возможно, тоже нечеткие. Приближенные рассуждения лежат в основе способности человека понимать естественный язык, разбирать почерк, играть в игры, требующие умственных усилий, в общем, принимать решения в сложной и не полностью определенной среде. Эта способность рассуждений в качественных, неточных терминах отличает интеллект человека от интеллекта вычислительной машины.

Основным правилом вывода в традиционной логике является правило modus ponens, согласно которому мы судим об истинности высказывания по истинности высказываний и . Например, если — высказывание "Джон в больнице", — высказывание "Джон болен", то если истинны высказывания "Джон в больнице" и "Если Джон в больнице, то он болен", то истинно и высказывание "Джон болен".

Во многих привычных рассуждениях, однако, правило modus ponens используется не в точной, а в приближенной форме. Так, обычно мы знаем, что истинно и что , где есть, в некотором смысле, приближение . Тогда из мы можем сделать вывод о том, что приближенно истинно.

Далее мы обсудим способ формализации приближенных рассуждений, основанный на понятиях, введенных нами на предыдущей лекции. Однако, в отличие от традиционной логики, нашим главным инструментом будет не правило modus ponens, а так называемое композиционное правило вывода, весьма частным случаем которого является правило modus ponens.

Формализация понятия нечеткого алгоритма

Различные понятия, нечеткие по своей природе, могут быть формально описаны посредством нечетких множеств. Нечеткая логика, например, позволяет формализовать простые логические связки нечетких переменных с помощью нечетких высказываний. Для описания же сложных соотношений между переменными удобно использовать нечеткие алгоритмы.

Под алгоритмом понимается точно определенное правило действий (программа), для которого задано указание, как и в какой последовательности это правило необходимо применять к исходным данным задачи, чтобы получить ее решение. Характеристиками алгоритма являются:

а) детерминированность — однозначность результата процесса при неизменных исходных данных;

б) дискретность определяемого алгоритмом процесса — расчлененность его на отдельные элементарные акты, возможность выполнения которых человеком или машиной не вызывает сомнения;

в) массовость — исходные данные для алгоритма можно выбрать из некоторого множества данных, т.е. алгоритм должен обеспечить решение любой задачи из класса однотипных задач.

Нечеткий же алгоритм, упрощенно говоря, определяется упорядоченным множеством нечетких инструкций (нечетких высказываний), которые содержат понятия, формализуемые нечеткими множествами.

Под нечеткими инструкциями понимаются инструкции, содержащие нечеткое понятие, например, "пройти около 100 метров", а под машинными — инструкции, не содержащие никаких нечетких понятий: "пройти 100 метров". Здесь и далее четкие инструкции мы будем называть машинными, чтобы подчеркнуть возможность моделирования нечетких алгоритмов на ЭВМ, воспринимающих только чтение инструкций.

Приведем точное определение нечеткого алгоритма. Для формулировки необходимо ввести ряд первоначальных определений и обозначений.

Во-первых, вместо интервала , общепринятого множества значений функции принадлежности, рассматривается непустое множество с отношением частичного порядка и операциями , удовлетворяющими свойствам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, а также содержащие нулевой (0) и единичный (1) элементы.

Представление нечеткого алгоритма в виде графа

Во многих случаях нечеткий алгоритм удобно представлять в виде ориентированного графа. Каждой дуге ставят в соответствие инструкцию условия или инструкцию операции. Входные, выходные, внутренние переменные в нечетком алгоритме представляются нечеткими множествами. Выполнение алгоритма эквивалентно поиску в графе путей, связывающих помеченные вершины: начальные и конечные. Приведем необходимые для дальнейшего изложения известные определения графа и путей в графе.

Определение.

Графом называется тройка , где — множество элементов, называемых вершинами графа; множество элементов, называемых ребрами графа, причем ; — функция, ставящая в соответствие каждому ребру

упорядоченную или неупорядоченную пару вершин , и называются концами ребра . Если множество конечно, то граф называется конечным. Если — упорядоченная пара (т.е. ), то ребро называется ориентированным ребром или дугой, исходящей из вершины и входящей в вершину ; называется началом, — концом дуги . Граф, все ребра которого ориентированные, называется ориентированным графом.

Определение.

Последовательность вершин и ребер графа

называется путем из вершины

в вершину , если

для . Вершина называется началом, а — концом пути; число

называется длиной пути.

Определение.

Нечеткая программа есть четверка , где — вектор входа, — вектор программы (внутренние переменные), — вектор выхода, — ориентированный граф:

— нечеткие переменные, определяющие нечеткие множества на ;В графе существует точно одна вершина, называемая начальной (стартовой), которая не является конечной вершиной никакой дуги, и существует точно одна вершина, называемая конечной (финальной), которая не является начальной вершиной никакой дуги: любая вершина графа находится на некотором пути из стартовой вершины в финальную вершину ;В графе любая дуга , не ведущая в , связана с нечетким отношением и нечеткой инструкцией ; каждая дуга , ведущая в , связана с нечетким отношением и инструкцией , где — нечеткое отношение, и — нечеткая операция типа пересечения, объединения, отрицания нечеткой арифметики, оператор размывания, оператор типа модификаторов и т.д.

Способы выполнения нечетких алгоритмов

Для реализации поиска какого-либо выполнения нечеткого алгоритма

необходимо определить правила выбора машинной инструкции на каждом шаге. Правила выбора машинной инструкции и переходов из состояния в состояние зависят от типа нечеткой машины.

Выбор машинной инструкции:

a. Нечеткий выбор. Машина выбирает машинную инструкцию с наивысшей степенью на каждом шаге

для любой инструкции .

b. Вероятностный выбор. Машина на каждом шаге нечеткой инструкции выбирает инструкцию с вероятностью , пропорциональной нечеткой степени

c. Недетерминированный выбор. Машинная инструкция

выбирается недетерминированным образом.

Определение перехода из состояния в состояние:

a. Нечеткий переход. Машина переходит из состояния в состояние для любого состояния .

b. Вероятностный переход. Машина переходит из состояния

в состояние с вероятностью

c. В случае детерминированного перехода состояние, пригодное для машины, единственным образом определяется функцией переходов .

Процедура возврата:

a. Вернуться на предыдущую нечеткую инструкцию.

b. Вернуться на нечеткую инструкцию, соответствующую машинной инструкции с наивысшей функцией принадлежности в ряде таких инструкций, просмотренных последовательно до выбранной нечеткой инструкции.

c. Осуществить возврат так же, как описано в пункте (b), но при этом машинная инструкция выбирается со степенью более высокой, чем выбранная перед этим.

Адаптивный нечеткий логический регулятор

В настоящее время наиболее широкое применение при решении практических задач получили нечеткие логические регуляторы, которые позволяют на основании лингвистической информации, полученной от опытного оператора, управлять сложными, плохо формализованными процессами.

увеличить изображение
Рис. 12.3. 

Структура нечеткого логического регулятора, в котором используются эвристические правила принятия решений, показана на рис. 12.3 Такие регуляторы применяются аналогично традиционным регуляторам с обратной связью. Определение управляющих воздействий состоит из четырех основных этапов:

Получение отклика;Преобразование значения отклонения к нечеткому виду, такому, как "большой", "средний";Оценка входного значения по заранее сформулированным правилам принятия решения с помощью композиционного правила вывода;Вычисление детерминированного выхода, необходимого для регулирования процесса.

Рис. 12.4. 

Опишем способ уточнения правил управления, используемых в адаптивном нечетком логическом регуляторе (АНЛР). Соответствующая схема регулятора приведена на рис. 12.4 АНЛР состоит из двух частей: нечеткого логического регулятора управляемого процесса (НЛРУП) и нечеткого логического регулятора управления (НЛРУ). На рис. 12.4 используются следующие обозначения:

— управление, генерируемое НЛРУП;

— ошибка (отклонение от устанавливаемого выходного значения процесса );

— желаемое значение выхода управляемого процесса, ;

— модификация управления.

Правила НЛРУП имеют форму: if then if then .

Правила НЛРУ имеют форму: if then if then .

Здесь , , , , , — предварительно описанные нечеткие множества. Символ

используется для модификации стратегии управления следующим образом: в нечетком правиле , которое ухудшает течение процесса, заменяется значение управления на . Правило в НЛРУП заменяется на правило if then if then .

Рассмотрим далее два нечетких алгоритма обучения при лингвистическом описании предпочтений: алгоритм формирования нечеткого отношения предпочтений на множестве альтернатив, описываемых наборами лингвистических значений признаков, и алгоритм уточнения лингвистических критериев.

Алгоритм формирования нечеткого отношения предпочтения

Пусть — множество таких альтернатив, что каждое характеризуется набором оценок по признакам: , и пусть — семейство всех непустых конечных подмножеств множества . Для некоторого известно подмножество выбранных альтернатив , т.е. для любых

и имеет место доминирование . Предварительно, при анализе исходного множества альтернатив, сформирован эталонный набор нечетких оценок . Значения функции принадлежности нечеткой оценки указывают на степень близости значений -го признака к значениям, определяющим идеальную альтернативу. Используя множество предпочтений

требуется найти обобщенные правила предпочтения на множестве .

Пример.

Рассмотрим задачу выбора для рыболовецкого судна рационального района промысла с учетом следующих показателей: — время перехода в район лова, — прогноз вылова, — стоимостная характеристика прогнозируемого объекта лова,

— гидрометеоусловия. Показатели, в сущности, играют роль лингвистических переменных.

Лицу, принимающему решение, предложены альтернативы — (см.табл.12.1). Пусть выбрана альтернатива . Для обучения формируются две таблицы:

Таблица 12.1.

	U1	U2	U3	U4		U1	U2	U3	U4
S1	хор.	хор.	хор.	уд.	S1	плох.	хор.	плох.	уд.
S2	оч. хор.	плох.	хор.	уд.	S2	уд.	хор.	хор.	неуд.
S3	оч. хор.	хор.	хор.	неуд.	S3	плох.	хор.	хор.	уд.
S4	уд.	хор.	хор.	уд.	S4	уд.	хор.	норм.	уд.
S5	оч. плох.	хор.	хор.	уд.	S5	уд.	норм.	норм.	уд.
S6	хор.	норм.	плох.	уд.	S6

Для каждой пары наборов вычисляются оценки сравнения -го элемента первого набора с -м элементом второго набора:

где определяет конкретный оператор, например, нечеткую меру сходства.

В результате получаются две таблицы наборов нечетких оценок поэлементного сравнения. На основе полученных таблиц, используя логические операторы и логические функции двух переменных, выделяются полезные признаки и минимальный базис. Содержательное значение утверждения, соответствующего минимальному базису, следующее:

где — лингвистическое значение -го показателя, — логический признак. Физический смысл приведенного утверждения: район предпочтительнее района , если утверждение [(время перехода до "меньше", чем до ), и (прогноз вылова в

"больше", чем в ), и (погодные условия в "лучше", чем в )] более истинно, чем обратное утверждение [(время перехода до "больше", чем до ), и (прогноз вылова в "меньше", чем в ), и (погодные условия в "хуже", чем в )].

Далее предположим, что среди неизвестных ситуаций - (табл. 12.1) необходимо выбрать лучшую альтернативу, используя минимальный базис. В табл. 12.2 изображена матрица предпочтений , элементы которой вычислялись посредством гарантированной оценки

Таблица 12.2. S7S8S9S10S11

S7		0,88 0,38	1 0,38	0,88 0,38	0,88 0,38
S8	0,75 1		0,75 1	0,75 1	0,75 1
S9	1 0,38	0,88 0,38		0,88 0,38	0,88 0,38
S10	1 0,38	1 0,38	1 0,38		1 0,38
S11	0,88 0,38	0,88 0,38	0,88 0,38	0,88 0,38

где — значение -го признака на паре альтернатив — значение -го признака на парах альтернатив -го класса (). Каждый элемент матрицы содержит два значения. Левое значение указывает степень, с которой доминирует над . Правое значение указывает степень, с которой доминирует над . Для построения нечеткого графа предпочтений альтернатив (рис.12.5) используется следующее правило определения отношения доминирования :

где



Рис. 12.5. 

Согласно рис. 12.5, является недоминируемой альтернативой, т.е. не существует альтернативы, которая с ненулевой степенью доминирует над .

Алгоритм уточнения лингвистических критериев

Глобальные представления ЛПР о выборе альтернатив формулируются в виде глобального критерия, и решение многокритериальной задачи сводится к построению композиции , где

, — множества значений признаков, локальных и глобального критериев, соответственно. и формируются на основе высказываний типа: "если значения признаков , характеризующие альтернативу , оцениваются термами , то альтернатива удовлетворяет -му критерию с оценкой ".

и описываются наборами

Степень удовлетворения глобальному критерию для альтернативы

вычисляется следующим образом:

В процессе обучения уточняются оценки глобального и локальных критериев на основе сравнения выбранных ЛПР альтернатив из множества предъявленных . заменяется некоторым , подтверждающим соответствующий выбор:

Обучение осуществляется в два этапа: формирование обобщенных описаний предпочтения ЛПР; модификация M при несовпадении предпочтений ЛПР с порядком оценок . На втором этапе выполняется следующее: генерация допустимых наборов оценок показателей; определение отношения предпочтения на парах сгенерированных альтернатив; выделение из

наборов, не подлежащих корректировке; корректировка оценок по критериям.

Нечеткие алгоритмы обучения

Известно, что обучающиеся системы улучшают функционирование в процессе работы, модифицируя свою структуру или значение параметров. Предложено большое число способов описания и построения обучающихся систем. Все они предполагают решение следующих задач: выбор измерений (свойств, рецепторов); поиск отображения пространства рецепторов в пространство признаков, которые осуществляют вырожденное отображение объектов; поиск критерия отбора признаков. Причем в различных задачах для получения хороших признаков могут понадобиться разные критерии отбора. При обучении необходимо отвлечься от различий внутри класса, сосредоточить внимание на отличии одного класса от другого и на сходстве внутри классов. Необходим достаточный уровень начальной организации обучающейся системы. Для сложной структурной информации необходима многоуровневая обучающаяся система.

Следует выделить следующие группы нечетких алгоритмов обучения: обучающийся нечеткий автомат, обучение на основе условной нечеткой меры, адаптивный нечеткий логический регулятор, обучение при лингвистическом описании предпочтения.

Рекуррентные соотношения в алгоритмах первых двух групп позволяют получать функцию принадлежности исследуемого понятия на множестве заранее известных элементов. В третьей группе нечеткий алгоритм обучения осуществляет модификацию нечетких логических правил для удержания управляемого процесса в допустимых границах. В четвертой группе нечеткий алгоритм обучения осуществляет поиск вырожденного отображения пространства свойств в пространство полезных признаков и модификацию на их основе описания предпочтения.

Обучающийся нечеткий автомат

Рассмотрим автомат с четким входом и зависимым от времени нечетким отношением перехода . Пусть — нечеткое состояние автомата в момент времени на конечном множестве состояний

и — оценка значения .Состояние автомата в момент времени

определяется - композицией:

или аналогично ей. Обучение направлено на изменение нечеткой матрицы переходов:

где . Константа определяет скорость обучения. Начало работы автомата возможно без априорной информации или 1, а также с априорной информацией . Величина

зависит от оценки функционирования автомата. Доказано, что имеет место сходимость матрицы переходов, независимо от того, есть ли априорная информация, т.е. может быть любым значением из интервала .

Пример.

На рис. 12.1 изображена модель классификации образов. Роль входа и выхода можно кратко объяснить следующим образом. Во время каждого интервала времени классификатор образов получает новый образец из неизвестной внешней среды. Далее обрабатывается в рецепторе, из которого поступает как в блок "обучаемый", так и в блок "учитель" для оценки. Критерий оценки должен быть выбран так, чтобы его минимизация или максимизация отражала свойства классификации (классов образов). Поэтому, благодаря естественному распределению образов, критерий может быть включен в систему, чтобы служить в качестве учителя для классификатора. Модель обучения формируется следующим образом. Предполагается, что классификатор имеет в распоряжении множество дискриминантных функций нескольких переменных. Система адаптируется к лучшему решению. Лучшее решение выделяет множество дискриминантных функций, которые дают минимум нераспознавания среди множества дискриминантных функций для данного множества образцов.

увеличить изображение
Рис. 12.1. 

Обучение на основе условной нечеткой меры

Пусть — множество причин (входов) и — множество результатов. Если — функция из в интервал ,

и — нечеткая мера на , то

где .

Задача состоит в оценке (уточнении) причин по нечеткой информации.

Пусть — нечеткая мера на , связана с условной нечеткой мерой :

Предполагается следующая интерпретация вводимых мер: оценивает степень нечеткости утверждения "один из элементов был причиной", , оценивает степень нечеткости утверждения "один из элементов является результатом благодаря причине "; характеризует степень нечеткости утверждения: " — действительный результат".

Пусть описывает точность информации , тогда по определению .

Метод обучения должен соответствовать обязательному условию: при получении информации нечеткая мера меняется таким образом, чтобы

возрастала. Предположим, что и

удовлетворяют -правилу. Пусть

является убывающей, тогда

где . При этих условиях существует :

Обучение может быть осуществлено увеличением тех значений () нечеткой меры , которые увеличивают , и уменьшением тех значений () меры , которые не увеличивают . Можно показать, что на величину влияют только такие , что . Следовательно, нечеткий алгоритм обучения следующий:

Параметр регулирует скорость обучения, т.е. скорость сходимости . Чем меньше , тем сильнее изменяется . В приведенном алгоритме нет необходимости увеличивать больше, чем на , так как большое увеличение не влияет на . Приведем некоторые свойства модели обучения.

Свойство 1.

Если повторно поступает одна и та же информация, то происходит следующее:

a. новое больше старого () и новое

меньше старого (), следовательно, новая мера не меньше старой меры , и новая мера

b. при предположении , ,

сходится к и сходится к 0 для .

Свойство 2.

Если поступает одна и та же информация повторно: для всех , то .

Следовательно, и сходится к для всех .

Свойство 3. Предельное значение не зависит от начального значения тогда, когда на вход повторно поступает одна и та же информация.

Пример.

Рассмотрим модель глобального поиска экстремума неизвестной функции с несколькими локальными экстремумами.
Для поиска глобального экстремума формируются критерии в виде некоторых функций:

— оценивает число точек, проанализированных на предыдущих шагах;

— оценивает среднее значение функции по результатам предыдущих шагов;

— оценивает число точек, значение функции в которых принадлежит десятке лучших в своей области;

— оценивает максимум по прошлым попыткам;

— оценивает градиент функции.

В описанном случае показывает степень важности подмножеств критериев и оценивает предположение о нахождении экстремума в блоке в соответствии с критерием . Например,

может зависеть от числа ранее проанализированных точек в блоке . Пусть входная информация определяется формулой где — максимум анализируемой функции, найденный к рассматриваемому моменту в блоке . Очевидно, что сходится к максимизирующему множеству функции. На каждой итерации осуществляется следующее: проверяется заданное число новых точек; число этих точек выбирается пропорционально ; в~каждой точке вычисляется и нормализуется мера ); нормализуется ; по и вычисляется , а затем ; посредством правил подкрепления корректируется . Затем выполняется новая итерация, и так до тех пор, пока не сойдется

Модели нечеткой ожидаемой полезности

При описании индивидуального принятия решения в рамках классического подхода, наряду с моделями математического программирования, широко применяются теория статистических решений и теория ожидаемой полезности. Последняя предназначена для анализа решений, когда неопределенность обусловлена отсутствием объективной физической шкалы для оценки предпочтительности альтернатив. В этих случаях используется субъективная шкала полезности лица, принимающего решение (ЛПР). В реальных ситуациях исходы, соответствующие принятым решениям (состояниям системы), являются подчас неточными, что влечет за собой размытость соответствующих им оценок функции полезности. Размытый вариант ожидаемой полезности формулируется, например, в модели, где выделяются и одновременно учитываются как случайные, так и нечеткие составляющие неопределенности. Выбор происходит на основе максимизации нечеткой ожидаемой полезности

где — размытая вероятность состояния

из множества состояний мира , — множество альтернатив,

— множество критериев, — множество оценок, а

— класс всех нечетких подмножеств на множестве оценок .

Существуют модели, в которых описываются нечеткие лотереи, нечеткие деревья предпочтения, нечеткие байесовские оценки и т.п., где неполнота информации о законе распределения вероятности моделируется с использованием нечетких чисел и лингвистических вероятностей.

Например, задача анализа решений формулируется следующим образом. Пусть имеются две обычные вероятности лотереи: , где — вероятность исхода с ожидаемой полезностью и

— вероятность исхода с ожидаемой полезностью , а , где

— вероятность исхода с ожидаемой полезностью ,

— вероятность исхода с ожидаемой полезностью . Из теории ожидаемой полезности следует, что , если

Будем считать, что вероятности и и ожидаемые полезности точно не известны, т.е. введем

Тогда, в соответствии с принципом обобщения, степени принадлежности альтернатив и множествам нечетких ожидаемых полезностей в нечетких лотереях и соответственно вычисляются

В случае лотереи с исходами также для каждого ребра дерева решений подсчитывается значение нечеткой ожидаемой полезности.

Нечеткие цели, ограничения и решения

Непрерывно возрастающая сложность технологии контролируемых объектов настоятельно нуждалась в централизованном управлении и поэтому вызвала к жизни иерархическую структуру принятия решений. Поэтому появилась необходимость разделения всего процесса принятия решений управления на такое число уровней, чтобы решение задачи оптимизации на каждом из них было не сложным. Но с возникновением многоуровневых иерархических систем управления появилась и новая задача согласования и координации решений, принимаемых на всех уровнях.

Общая схема координации в двухуровневой системе сводится к следующему. Элементы передают в центр набор вариантов своей работы. Каждый вариант представляет собой векторный показатель элемента, допустимый с точки зрения его локальных ограничений. На основании получаемых вариантов центр формирует план, оптимальный с точки зрения всей системы. Этот план передается элементам и далее детализируется ими.

Однако при моделировании сложных систем невозможно учесть достаточно большое число реальных факторов, поскольку это привело бы к чрезмерному усложнению модели. Поэтому в модель приходится вводить лишь ограниченное число таких факторов, которые по тем или иным соображениям считаются наиболее существенными. При этом возможны два подхода. Неучтенные в описании модели факторы можно считать абсолютно несущественными и полностью их игнорировать при принятии решений с использованием этой модели. С другой стороны, при втором подходе можно явно не вводить "несущественные факторы" в математическую модель, но учитывать их влияние, допуская, что отклик модели на то или иное воздействие (выбор альтернативы) может быть известен лишь приближенно или нечетко.

В традиционном подходе главными элементами процесса принятия решения являются:

Множество альтернатив.Множество ограничений, которые необходимо учитывать при выборе между различными альтернативами.Функция предпочтительности, определяющая переход из пространства альтернатив в некоторое другое пространство и ставящая каждой альтернативе в соответствие выигрыш (или проигрыш), который получают в результате выбора этой альтернативы.

При рассмотрении этого процесса с более общих позиций принятия решений в нечетких условиях естественной представляется другая логическая схема, отличительной чертой которой является симметрия по отношению к целям и ограничениям. Этот подход устраняет различия между целями и ограничениями и позволяет достаточно просто принять на их основе решение.

Под нечеткой целью подразумевается цель, которую можно описать как нечеткое множество в соответствующем пространстве. Пусть — заданное множество альтернатив. Тогда нечеткая цель, или просто цель, будет определяться фиксированным нечетким множеством в .

При обычном подходе функция предпочтительности, используемая в процессе принятия решения, служит для установления линейной упорядоченности на множестве альтернатив. Очевидно, что функция принадлежности нечеткой цели выполняет ту же задачу и может быть получена из функции предпочтительности с помощью нормализации, сохраняющей установленную линейную упорядоченность.

Подобным же образом нечеткое ограничение в пространстве

определяется как некоторое нечеткое множество в . Важным моментом здесь является то, что и нечеткая цель, и нечеткое ограничение рассматриваются как нечеткие множества в пространстве альтернатив; это дает возможность не делать между ними различия при формировании решения.

Решение — это по существу выбор одной или нескольких из имеющихся альтернатив. Проблема принятия решения в нечетких условиях интерпретируется тогда как комплексное влияние нечеткой цели и нечеткого ограничения

на выбор альтернатив и характеризуется пересечением , которое и образует нечеткое множество решений , т.е.

Функция принадлежности для множества решений задается соотношением

В общем случае, если имеется нечетких целей и нечетких ограничений, то результирующее решение определяется пересечением всех заданных целей и ограничений, т.е. и, соответственно,


В приведенном определении нечеткие цели и нечеткие ограничения входят в выражение совершенно одинаковым образом. Такое определение решения как нечеткого множества в пространстве альтернатив может показаться несколько искусственным.


На самом деле оно совершенно естественно, поскольку нечеткое решение может рассматриваться как некоторая "инструкция", неформальность которой является следствием неточности формулировки поставленных целей и ограничений.

Во многих случаях все же разумно выбирать те альтернативы, которые имеют максимальную степень принадлежности к . Если таких элементов несколько, то они образуют обычное множество, которое называется оптимальным решением, а каждый элемент этого множества — максимизирующим решением.

Для практики интересен более общий случай, когда нечеткие цели и нечеткие ограничения — нечеткие множества в разных пространствах.

Пусть — отображение из в , причем переменная обозначает входное воздействие, а — соответствующий выход.

Предположим, что нечеткая цель задана как нечеткое множество

в , в то время как нечеткое ограничение — нечеткое множество в пространстве . Имея нечеткое множество в , можно найти нечеткое множество в , которое индуцирует в . Функция принадлежности в задается равенством

После этого решение может быть выражено пересечением множеств и . Используя предыдущее соотношение, можно записать

Таким образом, случай, когда нечеткие цели и нечеткие ограничения задаются как нечеткие множества в разных пространствах, может быть сведен к случаю, когда они задаются в одном и том же пространстве.

Задачи нечеткого математического программирования

Главная цель нечеткого математического программирования — помочь лицу, принимающему решение, разобраться в выдвинутых им допущениях. Нечеткий подход не подменяет собой простейшего анализа в поисках разумной точности. Он облегчает задачу лица, принимающего решения, позволяя не формулировать явно точные ограничения. Вот почему плодотворный обмен идеями между теорией нечетких множеств и классическим программированием может явиться значительным шагом к созданию новых методов.

Стандартная задача нечеткого математического программирования формулируется обычно как задача максимизации (или минимизации) заданной функции на заданном множестве допустимых альтернатив, которое описывается системой равенств или неравенств. Например:

где — заданное множество альтернатив, — заданная функция, которую нужно максимизировать, и — заданные функции ограничений.

При моделировании в нечеткой форме реальных задач принятия решений в распоряжении исследователя-математика могут оказаться лишь нечеткие описания функции и , параметров, от которых зависят эти функции, и самого множества . Таким образом, задача стандартного математического программирования превратится в задачу нечеткого математического программирования.

Формы нечеткого описания исходной информации в задачах принятия решений могут быть различными; отсюда и различия в математических формулировках соответствующих задач нечеткого математического программирования.

Перечислим некоторые из таких формулировок.

Задача 1.

Максимизация заданной обычной функции на заданном нечетком множестве допустимых альтернатив .

Задача 2.

Нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования. Пусть определена следующая задача:

Нечеткий вариант этой задачи получается, если "смягчить" ограничения, т.е. допустить возможность их нарушения с той или иной степенью. Кроме того, вместо максимизации функции можно стремиться к достижению некоторого заданного значения этой функции, причем различным отклонениям значения функции от этой величины приписывать разные степени допустимости.

Задача 3.
Нечетко описана "максимизируемая" функция, т.е. задано отображение , где — универсальное множество альтернатив, — числовая ось.
В этом случае функция при каждом фиксированном представляет собой нечеткое описание оценки результата выбора альтернативы (нечеткую оценку альтернативы ) или нечетко известную реакцию управляемой системы на управление . Задано также нечеткое множество допустимых альтернатив .
Задача 4.
Заданы обычная максимизируемая функция и система ограничений вида , причем параметры в описаниях функций заданы в форме нечетких множеств.
Задача 5.
Нечетко описаны как параметры функций, определяющих ограничения задачи, так и самой максимизируемой функции.
Рассмотрим, например, подробнее задачу линейного программирования с нечёткими коэффициентами. Нечеткость в постановке задачи нечеткого математического программирования может содержаться как в описании множества альтернатив, так и в описании целевой функции.

(1)

На практике часто сталкиваются с применением точной теории оптимизации к неточным моделям, где нет оснований приводить точно определенные числа и где слишком часто появляются трудности вычислительного характера при описании больших систем.
Нечеткую обстановку можно рассматривать как множество
альтернатив вместе с его нечеткими подмножествами, представляющими собой нечетко сформулированные критерии (цели и ограничения), т.е. как систему . Принять во внимание по возможности все критерии в такой задаче означает построить функцию

(2)

в которую цели и ограничения входят одинаковым образом.
Решение можно определить как нечеткое подмножество универсального множества альтернатив. Оптимум соответствует той области , элементы которой максимизируют . Это и есть случай нечеткого математического программирования.
Очевидно, что в реальных ситуациях неразумно проводить резкую границу для множества допустимых альтернатив. Может случится так, что распределения, попадающие за эту границу, дадут эффект, более желательный для лица, принимающего решения.
Например, ясно, что при несовместных распределениях эта область пустая. В таком случае налицо необходимость модификации ограничений. Желательно выяснить, как изменить ограничения задачи, чтобы появились допустимые решения и задача стала разрешимой.
В таких случаях представляется целесообразным вводить нечеткое множество допустимых элементов и, следовательно, рассматривать проблему как задачу нечеткого математического программирования с применением подхода, дающего человеку больше свободы в использовании его субъективных представлений о ситуации.
Формы нечеткого описания исходной информации в задачах принятия решений могут быть различными; отсюда и различия в математических формулировках соответствующих задач нечеткого математического программирования.

Игры в нечетко определенной обстановке

Во многих прикладных областях часто встречаются ситуации, в которых выполнение цели или результаты принятия решений одним лицом зависят не только от его действий, но и от действий другого лица или группы лиц, преследующих свои собственные цели. Рассмотренный подход к задачам принятия решений можно применять и для анализа подобных игровых ситуаций в нечетко определенной обстановке. Формулируется такая игра следующим образом.

Пусть и — множества элементов, которые могут выбирать игроки 1 и 2, соответственно. Допустимые выборы (стратегии) игроков 1 и 2, описываются нечеткими множествами и в и соответственно с функциями принадлежности и . Заданы также функции , причем значение есть оценка игроком ситуации без учета допустимости выборов и . Цель игрока описывается нечетким множеством в c функцией принадлежности . Следует заметить, что цель, поставленная игроком, может оказаться плохо совместимой или вообще несовместимой с его возможностями, т.е. с множеством его стратегий.

Целью игрока можно считать нечеткое множество в с функцией принадлежности

Образом этого нечеткого множества при отображении

является заданное нечеткое множество цели игрока .

Введем нечеткие множества и в , определив их функции принадлежности следующим образом:

Смысл нечетких множеств и можно пояснить так. Если, например, игроку 1, известен конкретный выбор игроком 2, то перед ним стоит задача достижения нечеткой цели при множестве допустимых альтернатив . В соответствии с описанным на прошлой лекции подходом Беллмана-Заде, решение такой задачи определяется как пересечение нечетких множеств цели и ограничения:

Таким образом, нечеткое множество можно рассматривать как семейство (по параметру ) решений задач достижения нечетких целей . Аналогичный смысл придается и множеству .

Далее будем считать, что при каждом фиксированном выборе одного игрока второй выбирает стратегию, которая максимизирует соответствующую ему функцию .

Если игрок полагается целиком лишь на свои возможности, то естественна его ориентация на получение наибольшего гарантированного выигрыша, т.е.
рациональным считается такой способ оценки игроком 1 своих выборов, при котором он рассчитывает на наихудшую для него реакцию игрока 2 из множества возможных реакций последнего.

При этом важную роль играет имеющаяся в его распоряжении информация об интересах и

ограничениях игрока 2. Если, например, игрок 1 имеет возможность первым выбрать свою стратегию, а игроку 2 становится известным этот выбор, то наибольший гарантированный выигрыш игрока 1 равен

Присутствующее в этом выражении множество , зависящее от , есть множество возможных реакций (ответов) игрока 2 на выбор

игрока 1. В этом смысле зависимость отражает степень информированности игрока 1 об интересах и

ограничениях игрока 2.

Если величина слишком мала, это означает, что цель, к выполнению которой стремится игрок 1, слишком завышена (с учетом его возможностей). Поэтому естественным образом возникает следующая задача. Каково должно быть нечеткое множество стратегий игрока 1, которое гарантировало бы ему (при заданной информированности об игроке 2) достижение цель со степенью, не меньшей некоторого заданного числа ?

Для решения этой задачи введем множество

Если , то , и, следовательно, игрок 1 не может гарантировать достижение своей цель со степенью большей или равной , независимо от того, какое множество стратегий находится в его распоряжении.

Пусть , тогда можно заключить, что достижение цель со степенью не менее можно гарантировать только тогда, когда при некотором .

Контроль и управление динамическими системами в нечетких условиях

Применение стохастических методов для контроля и управления процессом в некоторых ситуациях оказывается затруднительным из-за отсутствия вероятностных распределений параметров. Сложность получения численных результатов при работе со случайными величинами также снижает практическую ценность стохастических алгоритмов. В случае неполной информации о сложном процессе удобнее представлять неточно заданные параметры в виде нечетких величин.

Коэффициенты целого ряда моделей фактически зависят от многих неучтенных факторов реального процесса. При описании процессов двухмерными моделями мы заменяем трехмерную модель однородным по третьему измерению слоем и значения коэффициентов для него определяем как среднее, средневзвешенное и т.д. Попытка внесения в модель ряда не учтенных ранее факторов и введение третьего измерения приводят к значительному усложнению модели и резкому повышению размерности задачи. К тому же, в такой усложненной модели появляются параметры, которые невозможно или крайне трудно измерить. При их задании опять вводятся некоторые допущения, которые только затрудняют и ухудшают точность решения задачи.

Как показывает практика, использование детерминированных моделей с четкими значениями параметров (даже при наличии адаптационного процесса их уточнения путем решения обратных задач) приводит к тому, что модель оказывается излишне грубой. Методы интервального анализа дают возможность построить модель для случая, когда для каждого из этих коэффициентов задан интервал допустимых значений. Однако на практике, когда имеется информация, что некие значения коэффициентов более допустимы, чем другие, описание этих коэффициентов в виде нечетких множеств является более удачным. В этом случае на интервале дополнительно задается функция принадлежности, причем, если информация о различии допустимости имеет статистический характер, то эта функция может быть определена объективно, если нет — то субъективно, на основе приближенного отражения экспертом в агрегированном виде имеющегося у него неформализованного представления о величине этого коэффициента.

Естественно, что введение нечетких коэффициентов усложняет процесс моделирования, однако в этом случае решение адекватно принятым упрощениям, например, при исключении третьей координаты понятие в точке

становится размытым, нечетким, так как относится не к точке, а к интервалу.

Многошаговые процессы принятия решений

Для простоты будем полагать, что управляемая система

является инвариантной по времени детерминированной системой с конечным числом состояний. Именно каждое состояние , в котором система

находится в момент времени , , принадлежит заданному конечному множеству возможных состояний ; при этом входной сигнал в момент времени является элементом множества . Динамика системы во времени описывается уравнением состояния

в котором — заданная функция, отображающая в . Таким образом, представляет собой последующее состояние для при входном сигнале . Считается также, что заданы начальное состояние и фиксированное время окончания процесса .

Предполагается, что в каждый момент времени на входную переменную наложено нечеткое ограничение , являющееся нечетким множеством в с функцией принадлежности . Кроме того, считается, что цель — нечеткое множество в , определяемое функцией принадлежности . Задача заключается в нахождении максимизирующего решения.

Можно записать решение как нечеткое множество в в виде

где — нечеткое множество в , индуцируемое в . Для функции принадлежности имеем

где может быть выражено как функция от и

путем последовательного применения уравнения .

Для многошаговых процессов целесообразно представить решение в виде:

где — принятая "стратегия", или правило выбора входного воздействия в зависимости от состояния системы .

Таким образом, задача сводится к нахождению оптимальных стратегий и соответствующей последовательности входных воздействий , максимизирующих . Для решения применяется метод динамического программирования:

где

может рассматриваться как функция принадлежности нечеткой цели в момент , индуцированной заданной целью в момент .

Повторяя процесс обратных итераций, получаем систему рекуррентных уравнений

где , которая дает решение задачи. Таким образом, максимизирующее решение достигается последовательной максимизацией величин , причем

определяется как функция от .

В качестве простого примера рассмотрим систему с тремя состояниями , и и двумя входными сигналами и .
Пусть и нечеткая цель в момент времени определяется функцией принадлежности, принимающей значения

Пусть далее, нечеткие ограничения в моменты и

задаются функциями

Допустим, что таблица изменения состояний, задающая функцию , имеет следующий вид:

	1	3	1
	2	1	3

Находим функцию принадлежности нечеткой цели в момент :

Соответствующее максимизирующее решение имеет вид:

Аналогично, для имеем

Итак, если начальное состояние в момент времени есть , то максимизирующим решением будет , причем соответствующее значение функции принадлежности равно 0,8.

Особенности контроля и управления в условиях стохастической неопределенности

При составлении проекта его авторы редко располагают полной априорной информацией об объекте и окружающей его среде, необходимой для синтеза корректной системы управления. Даже если известны системы уравнения, описывающие поведение системы, то часто оказывается, что нет данных о величине отдельных параметров, и к тому же нередко имеющиеся модели слишком сложны. В дальнейшем выясняется, что принятая при проектировании модель существенно отличается от реального объекта, а это значительно уменьшает эффективность разработанной системы управления. В связи с этим, актуальной становится возможность уточнения модели на основе наблюдений, полученных в условиях нормального функционирования объекта.

Таким образом, задача идентификации формулируется следующим образом: по результатам наблюдений над входными и выходными переменными системы должна быть построена оптимальная в некотором смысле модель, т.е. формализованное представление этой системы.

В зависимости от априорной информации об объекте управления различают задачи идентификации в узком и широком смысле. Для вторых приходится предварительно решать большое число дополнительных проблем. К ним относятся: выбор структуры системы и задание класса моделей, оценка степени стационарности и линейности объекта, а также степеней и форм влияния входных воздействий на состояние, выбор информативных переменных и др. Задача идентификации в узком смысле состоит в оценке параметров и состояния системы по результатам наблюдений над входными и выходными переменными, полученными в условиях функционирования объекта. Для решения отмеченных проблем в современной теории управления обычно используют модели в пространстве состояний.

Проблеме построения алгоритмов управления объектами с неполной информацией в настоящее время уделяется большое внимание. Это объясняется прежде всего тем, что при создании систем управления сложными технологическими процессами обычно не располагают достоверными моделями объектов. Ни одна из существующих теорий не может претендовать на то, что единственно она дает правильное описание работы систем.
Скорее, имеется целый спектр теорий, трактующих эти проблемы. При имеющемся сейчас узком рассмотрении лишь отдельных процессов и только на определенных уровнях описания получается одностороннее представление о системе, не позволяющее иметь достоверные оценки обо всех процессах.

Поведение реальной системы характеризуется некоторой неопределенностью, и при достаточно большом объеме информации об объекте некоторое внешнее возмущение, действующее на управляемый объект, можно представить как случайный процесс.

Стохастическое оптимальное управление в значительной степени базируется на основных положениях динамического программирования.

Для линейных систем с квадратичным критерием решение исходит из так называемой теоремы разделения, которая позволяет составлять наилучшую стратегию из двух частей: оптимального фильтра, который вычисляет оценки состояния в виде условного среднего при заданных наблюдениях выходных сигналов, и линейной обратной связи. Оказывается, что линейная обратная связь может быть найдена путем решения задачи детерминированного управления. Оценка состояния характеризует выходную переменную фильтра Калмана, который, по существу, представляет собой математическую модель системы, когда управление осуществляется по наблюдениям. Таким образом, теорема разделения обеспечивает связь между теориями фильтрации и стохастического оптимального управления.

---